Question

排列组合 C(0 n)+C(1 n)+C(2 n)+...+C(n-1 n)+C(n n)（n∈N*）的值,并证明你的结

Answer 1

用数学归纳法证明.

（i）当n=1时,C（0 1）+C（1 1）=2=2^1 所以等式成立.

（ii）假设n=k时,（k≥1,k∈N*）时等式成立

即：C(0 k)+C(1 k)+C(2 k)+...+C(k-1 k)+C(k k)=2^k

当n=k+1时,

C(0 k+1)+C(1 k+1)+C(2 k+1)+...+C(k k+1)+C(k+1 k+1)

=C(0 k)+C(0 K)+C(1 k)+C(1 k)+C(2 k)+...+C(k-1 k)+C(k k)+C(k k)

=2[C(0 k)+C(1 k)+C(2 k)+...+C(k-1 k)+C(k k)]

=2*2^k

=2^(k+1)

∴ 等式也成立

由（i）(ii)得,等式对n∈N*都成立.

（注：C(k+1 k+1)=C(k k)=1 ,C(0 k+1)=C(0 k)=1 ,C(m,n) =C(m,n－1)＋C(m－1,n－1) ）