Question

已知抛物线C的顶点为坐标原点，椭圆C′的对称轴是坐标轴，抛物线C在x轴上的焦点恰好是椭圆C′的焦点

Answer 1

（I）设抛物线C的方程为：y²=2px，

抛物线C经过点M（1，2）则2²=2p×1

∴抛物线C的方程为：y²=4x其焦点为F₂（1，0）

故可设椭圆C′的焦点为F₁（1，0）和F₂（1，0），

2a=|MF₁|+|MF₃|=2

2+2

∴b²=（

2+1）²-1²=2+2

2

∴椭圆C′的方程为：

x2

3+2

2+

y2

2+2

2=1（3分）

（II）设A（2pt²，2pt）则AP的中点Q（pt²+[3/2]，pt），

以AP为直径的圆的半径为r

r²=（pt²-[3/2]）²+（pt）²，

设Q（pt²+[3/2]，pt）到直线l′：x=2的距离为d

则d=|pt²+[3/2]-2|=|pt²-[1/2]|

设直线l′：x=2被以AP为直径的圆截得的弦为MN，则：

(

|MN|

2)2=r²-d²=（pt²-[3/2]）²+（pt）²-（pt²-