解题思路：（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解，然后在直角三角形ABC中，由AB与BC的长根据勾股定理可求CA=5，从而得到cos∠NCM=[BC/AC]=[4/5]，而cos∠NCM也等于 [NC/MC]，最后把表示出的CN代入即可表示出CM；
（2）四边形PCDQ构成平行四边形，根据平行四边形的对边相等得到PC=DQ，列出方程4-t=t即解；
（3）根据QN平分△ABC的面积，得到三角形CMN的面积等于三角形ABC面积的一半，根据三角形的面积公式，利用表示出的CN与MN的值表示出三角形CMN的面积，让其等于三角形ABC面积的一半，得到关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，然后把t的值代入表示出的MC与NC中，求出两线段的和，再根据AB、AC与BC的值求出三角形ABC的周长的一半，看与MC和NC两线段的和是否相等，从而判断出此时△ABC的周长是否也被射线QN平分．
（1）∵AQ=3-t，
∴CN=4-（3-t）=1+t，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42，
∴AC=5，
在Rt△MNC中，cos∠NCM=[NC/MC]=[BC/AC]=[4/5]，CN=1+t，
∴CM=[CN/cos∠NCM]=[1+t
4/5]=[5+5t/4]；
（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形，
∴PC=QD，即4-t=t，
解得t=2，
则当t=2时，四边形PCDQ构成平行四边形；
（3）∵NC=t+1，MN=
3(t+1)
4，
∴S△MNC=[1/2]NC•MN=
1
2(t+1)•
3(t+1)
4＝
3(t+1)2
8＝
1
2×
1
2×4×3，…（8分）
整理得：（1+t）2=8，
解得：t1=2
2-1，t2=-2
2-1（舍）…（9分）
∴当t=2
2-1时，△ABC的面积被射线QN平分．…（10分）
当t=-2
2-1时，MC+NC=
5(t+1)
4+1+t=
点评：
本题考点： 直角梯形；三角形的面积；平行四边形的判定．
考点点评： 此题考查了直角梯形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质以及三角形的面积，是一道探究型的题，解答此类题时，可采用逆向思维的方法，视结论为题设，多角度，多侧面去探寻满足题意的值，要求学生把所学的知识融汇贯穿，灵活运用，采用数形结合的思想来解决问题．