解题思路:(Ⅰ)求出原函数的导函数,求得f′(1),再求出f(1),然后直接由直线方程的点斜式得答案;
(Ⅱ)直接由导函数的符号确定原函数的单调区间;
(Ⅲ)由(Ⅱ)中求得的原函数的单调区间,把m分类得到函数f(x)在[m,2m]上的单调性,由单调性求得f(x)在[m,2m]上的最大值.
(Ⅰ)∵f(x)=[lnx−x/x]=[lnx/x−1.
∴f′(x)=
1−lnx
x2],则f′(1)=1.
又f(1)=-1,
∴f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+1=1×(x-1).
整理得:x-y-2=0;
(Ⅱ)f′(x)=
1−lnx
x2(x>0),
由f′(x)>0,得0<x<e;
由f′(x)<0,得x>e.
∴函数f(x)的单调减区间为(e,+∞);单调增区间为(0,e).
(Ⅲ)当2m≤e,即m≤
e
2时,函数f(x)在[m,2m]上为增函数,f(x)max=f(2m)=
ln2m
2m−1;
当m≥e时,函数f(x)在[m,2m]上为减函数,f(x)max=f(m)=
lnm
m−1;
当
e
2<m<e时,函数f(x)在[m,2m]上的最大值为f(x)max=f(e)=
1
e−1.
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 本题考查了利用导数求过曲线上某点的切线方程,考查了利用导数研究函数的单调性,训练了利用函数的单调性求函数的最值,是中档题.