（1）
因为M(-2,0),设L为Y=kX+2k,
联立X^2-Y^2=1,
整理得：（k^2-1)*X^2+4k^2+4k^2+1=0
所以,A的横坐标+B的横坐标=4k^2/(1-k^2）
又设P（X,Y)
因为OA,OB为一组邻边作平行四边行OAPB
所以X=A的横坐标+B的横坐标=4k^2/(1-k^2）
Y=A的纵坐标+B的纵坐标=k（A的横坐标+B的纵坐标）+4k
所以,Y=k（X+4)
又由X=4k^2/(1-k^2）推出k^2=X/(X+4)
所以Y^2=X^2+4X.
（2）不存在L直线使OAPB为矩形
证OAPB为矩形,即证OA垂直OB
即证,A的横坐标*B的横坐标+A的纵坐标*B的纵坐标=0
又因为,Y=kX+2k
所以,A的纵坐标*B的纵坐标=k^2*A的横坐标*B的横坐标+2k^2(A的横坐标+B的横坐标）+4k^2
又由（1）A的横坐标+B的横坐标=4k^2/(1-k^2）；A的横坐标*B的横坐标=（4k^2+1)/(k^2-1）
综合整理得：k^2=-1不成立
所以不存在L直线使OAPB为矩形.
||可能是错的,我往天做这种题也常错.||||