解题思路：（1）要证明四点共圆，可根据圆内接四边形判定定理：四边形对角互补，而由AP是⊙O的切线，P为切点，易得∠APO=90°，故解答这题的关键是证明，∠AMO=90°，根据垂径定理不难得到结论．
（2）由（1）的结论可知，∠OPM+∠APM=90°，只要能说明∠OPM=∠OAM即可得到结论．
（1）证明：连结OP，OM，
∵AP与⊙O相切于点P，∴OP⊥AP，∵M是⊙O的弦BC的中点，∴OM⊥BC，
∴∠OPA+∠OMA=180°，∵圆心O在∠PAC的内部，∴四边形APOM的对角互补，
∴A、P、O、M四点共圆…（5分）
（2）由（1）得A、P、O、M四点共圆，∴∠OAM=∠OPM，
由（1）得OP⊥AP，∵圆心O在∠PAC的内部，∴∠OPM+∠APM=90°，
∴∠OAM+∠APM=90°…（10分）
点评：
本题考点： 弦切角．
考点点评： 本题是考查同学们推理能力、逻辑思维能力的好资料，题目以证明题为主，特别是一些定理的证明和用多个定理证明一个问题的题目，我们注意熟练掌握：1．射影定理的内容及其证明； 2．圆周角与弦切角定理的内容及其证明；3．圆幂定理的内容及其证明；4．圆内接四边形的性质与判定．