Question

设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0、方差为[1/2]的正态分布，求随机变量|X-Y|的方差．

Answer 1

解题思路：先将X-Y的期望和方差计算出来，进而指出X-Y所服从的分布，再计算D|X-Y|．

令：Z=X-Y，

则由于X，Y相互独立，且服从正态分布，因而Z也服从正态分布，

且EZ=EX-EY=0-0=0，DZ=D（X-Y）=DX+DY=[1/2+

1

2＝1，

因此，Z=X-Y～N（0，1），

∴E|X-Y|=E|Z|=

∫+∞−∞|z|

1

2πe−

z2

2]dz=

2

2π

∫+∞0ze−

z2

2dz=−

4

2πe−

z2

2

|+∞0＝

2

π，

又：D|X-Y|=D|Z|=E|Z|²-[E|Z|]²=EZ²-[E|Z|]²=DZ+[EZ]²-[E|Z|]²=1+0-[E|Z|]²=1-[E|Z|]²，

∴D|X−Y|＝1−

2

π．

点评：

本题考点： 正态分布的数学期望和方差．

考点点评： 将所要求的方差转化为已知的方差和期望来求，会减少计算量．此题当然也可以用方差的定义来求．