解题思路：（1）根据f（-1）=0可以得到a与b的关系，将f（x）中的b代换成a表示，再根据对任意实数x均有f（x）≥0成立，列出关于a的不等关系，求解得到a的值，进而得到b的值，即可求得F（x）表达式；
（2）g（x）=f（x）-kx为二次函数，利用二次函数的单调性与开口方向和对称轴的关系，列出关于k的不等关系，求解即可得到实数k的取值范围．
（1）∵F（x）=
a
3x3+
b
2x2+x（a＞0），
∴F′（x）=ax2+bx+1，即f （x）=ax2+bx+1，
∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0，即b=a+1，
∴f（x）=ax2+（a+1）x+1，
∵f（x）≥0恒成立，即ax2+（a+1）x+1≥0恒成立，
∴
a＞0
△＝(a+1)2−4a≤0]，即
a＞0
(a−1)2≤0.，
∴a=1，则b=2，
∴f（x）=x2+2x+1，
∴F（x）=[1/3x3+x2+x；
（2）g（x）=x2+2x+1-kx=x2+（2-k）x+1，
∵g（x）在[-2，2]上是单调函数，
∴
k−2
2]≤-2或[k−2/2]≥2，解得k≤-2或k≥6，
∴实数k的取值范围为（-∞，-2]∪[6，+∞）．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．
考点点评： 本题考查了利用求导公式求函数的导函数，考查了函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法解决．同时考查了二次函数的单调性问题，二次函数的单调性与开口方向和对称轴有关．属于中档题．