Question

方程f（x）的根称为函数f（x）的零点，函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，（a≠0），若已知函数y=3ax3+2b

Answer 1

解题思路：函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），的导数为：f′（x）=3ax²+2bx+c，联系函数y=3ax³+2bx²+cx=x（3ax²+2bx+c）的图象可知，f′（x）=3ax²+2bx+c，的两个零点是：x₁、x₂，根据导数的几何意义可得函数f（x）的极值点分布在x轴的两侧（或者其中之一在x轴上）结合图象可得函数f（x）的零点个数．

函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），的导数为：

f′（x）=3ax²+2bx+c，

又函数y=3ax³+2bx²+cx=x（3ax²+2bx+c）的图象如图所示，

由图可知，f′（x）=3ax²+2bx+c，的两个零点是：x₁、x₂，

根据导数的几何意义可得：函数f（x）的极值点是：x₁、x₂，

又f（x₁）f（x₂）≤0，

说明函数f（x）的极值点分居在x轴的两侧（或者其中之一在x轴上）

则函数f（x）的零点个数是：2或3．

故选C．

点评：

本题考点： 根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 本题考查函数的零点，三次函数的图象，以及利用图象解决问题的能力．