Question

如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P为AD上一动点,PE垂直于AC,PF垂直于DB,当点P像向点D移动时,求证P

Answer 1

设AC与BD相交于点O,连接OP

因为ABCD是矩形

所以三角形OAD的面积=1/4矩形ABCD的面积

OA=OD=1/2BD

角BAD=90度

由勾股定理得：

BD^2=AB^2+AD^2

因为AB=3 AD=4

所以BD=5

因为矩形ABCD的面积=AB*AD=3*4=12

所以三角形OAD的面积=3

OA=OD=5/2

因为三角形OAD的面积=三角形OAP的面积+三角形ODP的面积

因为PE垂直AC于E

PF垂直BD于F

所以三角形OAP的面积=1/2*OA*PE

三角形ODP的面积=1/2*OD*PF

所以1/2*(5/2)*(PE+PF)=3

所以PE+PF=12/5=2,4

因为2.4是定值

所以PE+PF是定值