Question

已知：角BAC=90,AB=AC,M是AC的中点,AD垂直于BM于E,交BC于D.求证：角AMB=角DMC

Answer 1

证明:

延长 AD.在延长线上取点F,连接CF,并使得 ∠ACF = 90 度

则

∠F + ∠FAC = 90 度

根据已知条件 AD垂直于BM于E,则

∠BMA + ∠FAC = 90度

所以

∠F = ∠BMA

在三角形 BMA 和 三角形AFC 中

∠BAM = ∠ACF = 90 度

∠BMA = ∠F

AB = AC

所以 △BMA ≌ △AFC

对应边相等,则

AM = CF

M 是 AC 中点,所以

CF = CM = AM

△ABC 是等腰直角三角形 ,所以

∠MCD = 45 度

∠FCD = ∠ACF - ∠MCD = 90 - 45 = 45 度

所以

∠FCD = ∠MCD

△MCD 和 △FCD 中

CM = CF

∠FCD = ∠MCD

CD = CD

所以

△MCD ≌ △FCD

对应角相等,则

∠DMC = ∠DFC

前面已经证明 ：∠DFC = ∠AMB

因此

∠AMB = ∠DMC

(另外,本题目还可以从D 向 AC 做垂线,通过相似形来证明.但是 不清楚 楼主是否学到相似形了.所以采用普通的全等三角形方法进行了证明）