已知棱柱ABCD-A′B′C′D′,底面ABCD是边长为a的菱形,∠BAD=60°,对角线AC、BD交于点O,A′O⊥平

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  • 解题思路:(I)分别以OA,OB,OA′为x,y,z轴建立空间直角坐标系O-xyz,求出平面AA′C′C的一个法向量和平面BB′D′D的法向量,根据两个平面的法向量垂直得到不论侧棱AA′的长度为何值,总有平面AA′C′C⊥平面BB′D′D;

    (Ⅱ)求出平面CDD′C′的法向量,结合二面角B-DD′-C为45°,求出h与a的关系,进而利用勾股定理可得侧棱AA′的长度.

    证明:(Ⅰ)∵ABCD为菱形,

    ∴AC⊥BD,

    又A′O⊥平面ABCD,

    ∴A′O⊥BD,A′O⊥AC,

    分别以OA,OB,OA′为x,y,z轴建立空间直角坐标系O-xyz,

    ∵底面ABCD是边长为a的菱形,∠BAD=60°,

    ∴A(

    3a

    2,0,0),B(0,[a/2],0).D(0,-[a/2],0),

    设OA′=h,则A′(0,0,h).

    显然,平面AA′C′C的一个法向量为

    m=(0,1,0),

    设平面BB′D′D的法向量为

    n=(x,y,z),

    DB=(0,a,0),

    BB′=

    AA′=(-

    3a

    2,0,h),

    点评:

    本题考点: 直线与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算.

    考点点评: 本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定,二面角,平面与平面垂直的判定,其中建立空间坐标系,将面面垂直问题和二面角问题,转化为向量垂直和向量夹角问题是解答的关键.