Question

n阶行列式中的每一个元素都乘以b的i-j次方得到的行列式.证明得到的行列式与原来的行列式相等

Answer 1

证:由题意知 b≠0.

设 |A|=|aij|

则 |aijb^(i-j)| =

a11 a12b^-1 a13b^-2 ...a1nb^1-n

a21b a22 a23b^-1 ...a2nb^2-n

a31b^2 a32b a33 ...a3nb^3-n

..

an1b^n-1 an2b^n-2 an3b^n-1 ...ann

第2,3,...,n行分别提出b,b^2,...,b^n-1

= (b*b^2*...*b^n-1)*

a11 a12b^-1 a13b^-2 ...a1nb^1-n

a21 a22b^-1 a23b^-2 ...a2nb^1-n

a31 a32b^-1 a33b^-2 ...a3nb^1-n

..

an1 an2b^-1 an3b^-2 ...annb^1-n

第2,3,...,n列分别提出b^-1,b^-2,...,b^1-n

= (b*b^2*...*b^n-1)*(b^-1*b^-2*...*b^1-n*)

a11 a12 a13 ...a1n

a21 a22 a23 ...a2n

a31 a32 a33 ...a3n

.....

an1 an2 an3 ...ann

= |A|.