Question

如图，设△ABC的两边AC与BC之和为a，M是AB的中点，MC=MA=5，则a的取值范围是______．

Answer 1

解题思路：根据题设知三角形ABC是直角三角形，由勾股定理求得AB的长度及由三角形的三边关系求得a的取值范围；然后根据题意列出二元二次方程组，通过方程组求得xy的值，再把该值依据根与系数的关系置于一元二次方程z²-az+

a

2

−100

2

=0中，最后由根的判别式求得a的取值范围．

∵M是AB的中点，MC=MA=5，

∴△ABC为直角三角形，AB=10；

∴a=AC+BC＞AB=10；

令AC=x、BC=y．

∴

x+y＝a

x2+y2＝100，

∴xy=

a2−100

2，

∴x、y是一元二次方程z²-az+

a2−100

2=0的两个实根，

∴△=a²-4×

a2−100

2≥0，即a≤10

2．综上所述，a的取值范围是10＜a≤10

2．

故答案为：10＜a≤10

2．

点评：

本题考点： 根的判别式；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．

考点点评： 本题综合考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线及根的判别式．此题的综合性比较强，解题时，还利用了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式的知识点．