解题思路：（1）因为f（x）=-x3+ax2+b，所以
f′(x)=-3
x
2
+2ax=-3x(x-
2a
3
)
，由此根据a的取值范围进行分类讨论，能够求出函数f（x）的单调递增区间．
（2）由（1）知，a∈[3，4]时，f（x）的单调递增区间为
(0，
2
3
a)
，单调递减区间为（-∞，0）和
(
2
3
a，+∞)
．所以函数f（x）在x=0处取得极小值f（0）=b．由此利用对任意a∈[3，4]，函数f（x）在R上都有三个零点，能求出实数b的取值范围．
（1）因为f（x）=-x3+ax2+b，
所以f′(x)=-3x2+2ax=-3x(x-
2a
3)．…（1分）
当a=0时，f'（x）≤0，函数f（x）没有单调递增区间；…（2分）
当a＞0时，令f'（x）＞0，得0＜x＜
2a
3．
故f（x）的单调递增区间为(0，
2
3a)；…（3分）
当a＜0时，令f'（x）＞0，得[2a/3＜x＜0．
故f（x）的单调递增区间为(
2
3a，0)．…（4分）
综上所述，当a=0时，函数f（x）没有单调递增区间；
当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为(0，
2
3a)；
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为(
2
3a，0)．…（5分）
（2），由（1）知，a∈[3，4]时，
f（x）的单调递增区间为(0，
2
3a)，
单调递减区间为（-∞，0）和(
2
3a，+∞)．…（6分）
所以函数f（x）在x=0处取得极小值f（0）=b，…（7分）
函数f（x）在x=
2a
3]处取得极大值f(
2a
3)=
4a3
27+b．…（8分）
由于对任意a∈[3，4]，函数f（x）在R上都有三个零点，
所以
f(0)＜0
f(
2a
3)＞0.即
b＜0
4a3
27+b＞0.…（10分）
解得-
4a3
27＜b＜0．…（11分）
因为对任意a∈[3，4]，b＞-
4a3
27恒成立，
所以b＞(-
4a3
27)max=-
4×33
27=-4．…（13分）
所以实数b的取值范围是（-4，0）．…（14分）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．
考点点评： 本题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力．