Question

已数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=（1+2|cos[nπ/2]|）an+|sin[nπ/2]|，n∈N*．

Answer 1

解题思路：（1）令n=2k得a_2k+2=3a_2k，即可证明数列{a_2k}（k∈N^*）为等比数列；

（2）

a

2k

＝

3

k

，利用a_2k+1=a_2k-1+1，即可求数列{a_n}的通项公式；

（3）放缩，再利用等比数列的求和公式，即可证明结论．

（1）证明：令n=2k得a_2k+2=3a_2k

又a₂=3≠0

∴{a_2k}为等比数列（3分）

（2）a2k＝3k

又a_2k+1=a_2k-1+1=a_2k-3+2=…=a₁+k=k+1

∴an＝

n+1

2(n为奇数)

3

n

2(n为偶数)（7分）

（3）证明：bn＝

1

3n+(−1)n−1 • (

1

4)n＝

1

3n+

1

4n(n为奇数)

1

3n−

1

4n＜

1

3n(n为偶数)

∴Sn＜

1

31+

1

41+

1

32+

1

点评：

本题考点： 数列的求和；等比数列的性质．

考点点评： 本题考查等比数列的证明，考查数列的求和，考查不等式的证明，确定数列的通项是关键．