Question

已知实数x，y满足x2+y2=2x，则x2y2的取值范围是______．

Answer 1

解题思路：由x²+y²=2x，得y²=2x-x²≥0⇒0≤x≤2，x²y²=2x³-x⁴，构造函数f（x）=2x³-x⁴（0≤x≤2），利用导数法可求得函数的单调区间与极值，从而可求其值域．

由x²+y²=2x，得y²=2x-x²≥0，

∴0≤x≤2，x²y²=x²（2x-x²）=2x³-x⁴．

设f（x）=2x³-x⁴（0≤x≤2），

则f′（x）=6x²-4x³=2x²（3-2x），

当0＜x＜[3/2]时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，[3/2]）上单调递增；

当[3/2]＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）在（[3/2]，2）上单调递减，

∴当x=[3/2]时，函数取得极大值，也是最大值，f（[3/2]）=[27/16]，

当x=0、x=2时，f（x）=0，

∴函数f（x）的值域为[0，[27/16]]，

即0≤x²y²≤[27/16]．

故答案为：[0，[27/16]]．

点评：

本题考点： 基本不等式．

考点点评： 本题考查函数的单调性与极值，考查构造函数思想与导数法的应用，着重考查化归思想与创新思维，考查分析问题、解决问题的能力，属于难题．