解题思路:确定一对全等三角形△AQP≌△MNA,得到AN=PQ;然后推出BP为角平分线,利用角平分线的性质得到PC=PQ;从而得到PC=AN.
证明:∵BA⊥AM,MN⊥AC,
∴∠BAM=ANM=90°,
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°,
∴∠PAQ=∠AMN,
∵PQ⊥AB MN⊥AC,
∴∠PQA=∠ANM=90°,
在△AQP和△MNA中,
∠PAQ=∠AMN
∠PQA=∠ANM=90°
AQ=MN
∴△AQP≌△MNA(ASA)
∵AN=PQ AM=AP,
∴∠AMB=∠APM
∵∠APM=∠BPC,∠BPC+∠PBC=90°,∠AMB+∠ABM=90°
∴∠ABM=∠PBC
∵PQ⊥AB,PC⊥BC
∴PQ=PC(角平分线的性质),
∴PC=AN.
点评:
本题考点: 全等三角形的判定与性质.
考点点评: 本题是几何综合题,全等三角形的判定与性质、角平分线性质等重要知识点.题干中给出的条件较多,图形复杂,难度较大,对考生能力要求较高;解题时,需要认真分析题意,以图形的全等为主线寻找解题思路.解答中提供了多种解题方法,可以开拓思路,希望同学们认真研究学习.