已知:在△ABC中,∠ACB=90°,点P是线段AC上一点,过点A作AB的垂线,交BP的延长线于点M,MN⊥AC于点N,

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  • 解题思路:确定一对全等三角形△AQP≌△MNA,得到AN=PQ;然后推出BP为角平分线,利用角平分线的性质得到PC=PQ;从而得到PC=AN.

    证明:∵BA⊥AM,MN⊥AC,

    ∴∠BAM=ANM=90°,

    ∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°,

    ∴∠PAQ=∠AMN,

    ∵PQ⊥AB MN⊥AC,

    ∴∠PQA=∠ANM=90°,

    在△AQP和△MNA中,

    ∠PAQ=∠AMN

    ∠PQA=∠ANM=90°

    AQ=MN

    ∴△AQP≌△MNA(ASA)

    ∵AN=PQ AM=AP,

    ∴∠AMB=∠APM

    ∵∠APM=∠BPC,∠BPC+∠PBC=90°,∠AMB+∠ABM=90°

    ∴∠ABM=∠PBC

    ∵PQ⊥AB,PC⊥BC

    ∴PQ=PC(角平分线的性质),

    ∴PC=AN.

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题是几何综合题,全等三角形的判定与性质、角平分线性质等重要知识点.题干中给出的条件较多,图形复杂,难度较大,对考生能力要求较高;解题时,需要认真分析题意,以图形的全等为主线寻找解题思路.解答中提供了多种解题方法,可以开拓思路,希望同学们认真研究学习.