Question

四棱锥S-ABCD的三视图和直观图如图所示，其中主视图和左视图为两个全等的直角三角形，俯视图为正方形，M，N，P分别为A

Answer 1

解题思路：（1）由三视图找到四棱锥的边长关系和垂直关系，进而求体积和表面积

（2）先证明线线垂直，再用线面垂直的判定定理证明线面垂直

（1）由三视图知SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB=1，SD=2

∴底面ABCD的面积S=1×1=1

V_S-ABCD=[1/3×S×SD＝

1

3×1×2＝

2

3]

又由题意知AB⊥AD，AB⊥SD，且AD∩SD=D

∴AB⊥面SAD

∴AD⊥SA

同理可证BC⊥SC

∴△SAB，△SBC是直角三角形

∴S_表=S_△SAD+S_△SCD+S_△SAB+S_△SBC+S=[1/2×AD×SD+

1

2×CD×SD+

1

2×AB×SA+

1

2×BC×SC+AB×BC

=

1

2×1×2+

1

2×1×2+

1

2×1×

5+

1

2×1×

5+1=3+

5]

（2）证明：连接PN，PB，设PB∩CM=O

则PN∥SD

∴PN⊥面ABCD

又MC⊂面ABCD

∴PN⊥MC

∵在正方形ABCD中，P、M分别是AD、AB的中点

∴△PAB≌△MBC

∴∠PBA=∠MCB

又∠MCB+∠BMC=90°

∴∠PBA+∠BMC=90°

∴PB⊥MC

又PN∩PB=B，且PN、PB⊂面BPN

∴MC⊥面BPN

点评：

本题考点： 直线与平面垂直的判定；由三视图求面积、体积．

考点点评： 本题考查由三视图求面积、体积，以及线面垂直的证明，要求能够从三视图中发现几何体的长度关系和平行垂直关系，能熟练应用线面垂直的判定定理．属简单题