(2010•盘锦)如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于

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  • 解题思路:(1)根据△ABC和△AED是等边三角形,D是BC的中点,ED∥CF,求证△ABD≌△CAF,进而求证四边形EDCF是平行四边形即可;

    (2)在(1)的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比;

    (3)根据ED∥FC,结合∠ACB=60°,得出∠ACF=∠BAD,求证△ABD≌△CAF,得出ED=CF,进而求证四边形EDCF是平行四边形,即可证明EF=DC.

    (1)证明:∵△ABC是等边三角形,D是BC的中点,

    ∴AD⊥BC,且∠BAD=[1/2]∠BAC=30°,

    ∵△AED是等边三角形,

    ∴AD=AE,∠ADE=60°,

    ∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°,

    ∵ED∥CF,

    ∴∠FCB=∠EDB=30°,

    ∵∠ACB=60°,

    ∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=30°,

    ∴∠ACF=∠BAD=30°,

    在△ABD和△CAF中,

    ∠BAD=∠ACF

    AB=CA

    ∠FAC=∠B,

    ∴△ABD≌△CAF(ASA),

    ∴AD=CF,

    ∵AD=ED,

    ∴ED=CF,

    又∵ED∥CF,

    ∴四边形EDCF是平行四边形,

    ∴EF=CD.

    (2)△AEF和△ABC的面积比为:1:4;

    (3)成立.

    理由如下:∵ED∥FC,

    ∴∠EDB=∠FCB,

    ∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF,∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB

    ∴∠AFC=∠BDA,

    在△ABD和△CAF中,

    ∠BDA=∠AFC

    ∠B=∠FAC

    AB=CA

    ∴△ABD≌△CAF(AAS),

    ∴AD=FC,

    ∵AD=ED,

    ∴ED=CF,

    又∵ED∥CF,

    ∴四边形EDCF是平行四边形,

    ∴EF=DC.

    点评:

    本题考点: 平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.

    考点点评: 此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握.此题涉及到的知识点较多,综合性较强,难度较大.