解题思路:(1)根据△ABC和△AED是等边三角形,D是BC的中点,ED∥CF,求证△ABD≌△CAF,进而求证四边形EDCF是平行四边形即可;
(2)在(1)的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比;
(3)根据ED∥FC,结合∠ACB=60°,得出∠ACF=∠BAD,求证△ABD≌△CAF,得出ED=CF,进而求证四边形EDCF是平行四边形,即可证明EF=DC.
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,且∠BAD=[1/2]∠BAC=30°,
∵△AED是等边三角形,
∴AD=AE,∠ADE=60°,
∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°,
∵ED∥CF,
∴∠FCB=∠EDB=30°,
∵∠ACB=60°,
∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=30°,
∴∠ACF=∠BAD=30°,
在△ABD和△CAF中,
∠BAD=∠ACF
AB=CA
∠FAC=∠B,
∴△ABD≌△CAF(ASA),
∴AD=CF,
∵AD=ED,
∴ED=CF,
又∵ED∥CF,
∴四边形EDCF是平行四边形,
∴EF=CD.
(2)△AEF和△ABC的面积比为:1:4;
(3)成立.
理由如下:∵ED∥FC,
∴∠EDB=∠FCB,
∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF,∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB
∴∠AFC=∠BDA,
在△ABD和△CAF中,
∠BDA=∠AFC
∠B=∠FAC
AB=CA
∴△ABD≌△CAF(AAS),
∴AD=FC,
∵AD=ED,
∴ED=CF,
又∵ED∥CF,
∴四边形EDCF是平行四边形,
∴EF=DC.
点评:
本题考点: 平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
考点点评: 此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握.此题涉及到的知识点较多,综合性较强,难度较大.