Question

某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初

Answer 1

解题思路：（I）通过对n的分段讨论，得到一个等差数列和一个等比数列，利用等差数列的通项公式及等比数列的通项公式求出第n年初M的价值a_n的表达式；

（II）利用等差数列、等比数列的前n项和公式求出A_n，判断出其两段的单调性，求出两段的最小值，与80比较，判断出须在第9年初对M更新．

（I）当n＜6时，数列{a_n}是首项为120，公差为-10的等差数列

a_n=120-10（n-1）=130-10n

当n≥6时，数列{a_n}是以a₆为首项，公比为[3/4]的等比数列，又a₆=70

所以an＝70×(

3

4)n−6

因此，第n年初，M的价值a_n的表达式为an＝

130−10n(n≤6)

70× (

3

4)n−6(n≥7)

（II）设S_n表示数列{a_n}的前n项和，由等差、等比数列的求和公式得

当1≤n≤6时，S_n=120n-5n（n-1），A_n=120-5（n-1）=125-5n

当n≥7时，由于S₆=570故

S_n=S₆+（a₇+a₈+…+a_n）=570+

70×

3

4×[1−(

3

4)n−6]

1−

3

4=780−210×(

3

4)n−6An＝

780−210×(

3

4)n−6

n

因为{a_n}是递减数列，

所以{A_n}是递减数列，

又A8＝

780−210×(

3

4)2

8＝82

47

64＞80

A9＝

780−210×(

3

4)3

9＝76

79

96＜80

所以须在第9年初对M更新．

点评：

本题考点： 分段函数的应用；数列与函数的综合．

考点点评： 本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式、考查等比数列的通项公式及前n项和公式、考查分段函数的问题要分到研究．