解题思路：已知如图，连接OC，根据条件可得：∠A0C=60°，设∠CPO=x°，由隐藏条件：OQ=OC可得∠OCQ=∠CQO，再利用三角形外角和定理可建立关于x的方程，求出x的值即可得问题答案，本题还有其他两种情况，解答过程同上．
①当P在直线AB延长线上时，如图所示：连接OC，设=x°，∵PQ=OQ，∴∠OQP=∠CPO=x°，∴∠CQO=2x°，∵OQ=OC，∴∠OCQ=∠CQO=2x°，∵点C为半圆上的三等分点，∴∠AOC=60°，∴x+2x=60，∴x=20°，∴∠CPO=20°，②当...
点评：
本题考点： 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
考点点评： 本题考查了圆心角和所对弧之间的数量关系和三角形的外角和定理，根据n°的圆心角对着n°的弧以及一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半即可解决问题．