解题思路：把这三个数分别去掉各自的余数，能被要求的数整除，然后把这三个数分解质因数，那么求出剩下的三个数的最大公因数就是要求的数，据此解答．
150-6=144=2×2×2×2×3×3，
250-10=240=2×2×2×2×3×5，
350-14=336=2×2×2×2×3×7，
那么144、240、336的最大公因数就是：2×2×2×2×3=48，
所以这个数最大是48．
故答案为：48．
点评：
本题考点： 公约数与公倍数问题；带余除法．
考点点评： 本题关键是理解这三个数分别去掉各自的余数，能被要求的数整除，即剩下的三个数的最大公因数就是要求的数．