已知:如图1,平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是矩形,点A,C的坐标分别为(6,0),(0,2).点D是线段BC上

4个回答

  • 解题思路:

    (1)因为四边形OABC是矩形,点A,C的坐标分别为(6,0),(0,2),即可求出点B的坐标,把A、B、C的坐标代入解析式求出b,即可求出答案;

    (2)首先证明四边形DMEN是平行四边形,再证明邻边ND=NE即可;

    (3)过DH⊥OE于H,根据一次函数的解析式求出OQ、OE,求出DH、HE,设ME=x,根据勾股定理求出x即可.

    (1)∵矩形OABC中,点A,C的坐标分别为(6,0),(0,2),

    ∴点B的坐标为(6,2).

    若直线y=−

    1

    2x+b经过点C(0,2),则b=2;

    若直线y=−

    1

    2x+b经过点A(6,0),则b=3;

    若直线y=−

    1

    2x+b经过点B(6,2),则b=5.

    ①当点E在线段OA上时,即2<b≤3时,(如图)

    ∵点E在直线y=−

    1

    2x+b上,

    当y=0时,x=2b,

    ∴点E的坐标为(2b,0).

    ∴S=

    1

    2•2b•2=2b.

    ②当点E在线段BA上时,即3<b<5时,(如图)

    ∵点D,E在直线y=−

    1

    2x+b上

    当y=2时,x=2b-4;

    当x=6时,y=b-3,

    ∴点D的坐标为(2b-4,2),点E的坐标为(6,b-3).

    ∴S=S矩形OABC-S△COD-S△OAE-S△DBE=6×2−

    1

    2(2b−4)•2−

    1

    2(b−3)•6−

    1

    2[6−(2b−4)][2−(b−3)]=-b2+5b.

    综上可得:S=

    2b(2<b≤3)

    −b2+5b(3<b<5).]

    (2)证明:如图.

    ∵四边形OABC和四边形O′A′B′C′是矩形

    ∴CB∥OA,C′B′∥O′A′,

    即DN∥ME,DM∥NE.

    ∴四边形DMEN是平行四边形,且∠NDE=∠DEM.

    ∵矩形OABC关于直线DE对称的图形为四边形O′A′B′C′

    ∴∠DEM=∠DEN.

    ∴∠NDE=∠DEN.

    ∴ND=NE.

    ∴四边形DMEN是菱形.

    (3)y=-[1/2]x+b

    当x=0时,y=b,

    当y=0时,x=2b,

    ∴OQ=b,OE=2b

    过DH⊥OE于H,

    ∴DH=2,

    ∵∠QOE=90°,DH⊥OA,

    ∴DH∥OQ,

    ∴△DHE∽△QOE,

    ∴[QO/DH]=[OE/HE],

    即[b/DH]=[2b/HE],

    ∴HE=2DH=4,

    设DM=ME=x,

    在△DHM中,由勾股定理得:22+(4-x)2=x2

    解得:x=2.5,

    故答案为:2.5.

    点评:

    本题考点: 一次函数综合题;待定系数法求一次函数解析式;平行线的性质;三角形的面积;角平分线的性质;等腰三角形的性质;勾股定理;平行四边形的判定;菱形的判定.

    考点点评: 本题考查了待定系数法求直线的解析式,平行线的性质、菱形的判定,平行四边形的判定,角平分线性质,勾股定理以及分类讨论思想的运用.综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键.