解题思路:
(1)因为四边形OABC是矩形,点A,C的坐标分别为(6,0),(0,2),即可求出点B的坐标,把A、B、C的坐标代入解析式求出b,即可求出答案;
(2)首先证明四边形DMEN是平行四边形,再证明邻边ND=NE即可;
(3)过DH⊥OE于H,根据一次函数的解析式求出OQ、OE,求出DH、HE,设ME=x,根据勾股定理求出x即可.
(1)∵矩形OABC中,点A,C的坐标分别为(6,0),(0,2),
∴点B的坐标为(6,2).
若直线y=−
1
2x+b经过点C(0,2),则b=2;
若直线y=−
1
2x+b经过点A(6,0),则b=3;
若直线y=−
1
2x+b经过点B(6,2),则b=5.
①当点E在线段OA上时,即2<b≤3时,(如图)
∵点E在直线y=−
1
2x+b上,
当y=0时,x=2b,
∴点E的坐标为(2b,0).
∴S=
1
2•2b•2=2b.
②当点E在线段BA上时,即3<b<5时,(如图)
∵点D,E在直线y=−
1
2x+b上
当y=2时,x=2b-4;
当x=6时,y=b-3,
∴点D的坐标为(2b-4,2),点E的坐标为(6,b-3).
∴S=S矩形OABC-S△COD-S△OAE-S△DBE=6×2−
1
2(2b−4)•2−
1
2(b−3)•6−
1
2[6−(2b−4)][2−(b−3)]=-b2+5b.
综上可得:S=
2b(2<b≤3)
−b2+5b(3<b<5).]
(2)证明:如图.
∵四边形OABC和四边形O′A′B′C′是矩形
∴CB∥OA,C′B′∥O′A′,
即DN∥ME,DM∥NE.
∴四边形DMEN是平行四边形,且∠NDE=∠DEM.
∵矩形OABC关于直线DE对称的图形为四边形O′A′B′C′
∴∠DEM=∠DEN.
∴∠NDE=∠DEN.
∴ND=NE.
∴四边形DMEN是菱形.
(3)y=-[1/2]x+b
当x=0时,y=b,
当y=0时,x=2b,
∴OQ=b,OE=2b
过DH⊥OE于H,
∴DH=2,
∵∠QOE=90°,DH⊥OA,
∴DH∥OQ,
∴△DHE∽△QOE,
∴[QO/DH]=[OE/HE],
即[b/DH]=[2b/HE],
∴HE=2DH=4,
设DM=ME=x,
在△DHM中,由勾股定理得:22+(4-x)2=x2,
解得:x=2.5,
故答案为:2.5.
点评:
本题考点: 一次函数综合题;待定系数法求一次函数解析式;平行线的性质;三角形的面积;角平分线的性质;等腰三角形的性质;勾股定理;平行四边形的判定;菱形的判定.
考点点评: 本题考查了待定系数法求直线的解析式,平行线的性质、菱形的判定,平行四边形的判定,角平分线性质,勾股定理以及分类讨论思想的运用.综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键.