如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形,BE交AC于F,AD交CE于H,求证:FH∥BD

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  • 解题思路:先根据△ABC和△CDE都是等边三角形得出BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60°,再由SAS定理即可得出△BCE≌△ACD;可知∠CBF=∠CAH,BC=AC,再由ASA定理可知△BCF≌△ACH,可得出CF=CH,根据∠FCH=60°,可知△CHF为等边三角形,进而可得出结论.

    证明:(1)∵△ABC和△CDE都是等边三角形,

    ∴BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60°,

    ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD,

    ∴在△BCE和△ACD中,

    BC=AC

    ∠BCE=∠ACD

    CE=CD ,

    ∴△BCE≌△ACD (SAS).

    ∴∠CBF=∠CAH,

    又∵△ABC和△CDE都是等边三角形,且点B、C、D在同一条直线上,

    ∴∠ACH=180°-∠ACB-∠HCD=60°=∠BCF,

    在△BCF和△ACH中,

    ∠CBE=∠CAH

    BC=AC

    ∠BCF=∠ACH ,

    ∴△BCF≌△ACH (ASA),

    ∴CF=CH,

    又∵∠FCH=60°,

    ∴△CHF为等边三角形

    ∴∠FHC=∠HCD=60°,

    ∴FH∥BD.

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质.

    考点点评: 本题考查的是等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质,熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键.