Question

已知函数 f(x)=alnx+ 1 x (a＞0) ．

Answer 1

（I）依题意，x＞0，f′（x）=

a

x -

1

x 2

由f′（x）＞0得

a

x -

1

x 2 ＞0 ，解得x ＞

1

a ，函数f（x）的单调增区间为（

1

a ，+∞）

由f′（x）＜0得

a

x -

1

x 2 ＜0 ，解得x ＜

1

a ，函数f（x）的单调减区间为（0，

1

a ）

∴当x=

1

a 时，函数f（x）的极小值为f（

1

a ）=aln

1

a +a=a-alna

（II）设g（x）=ax（2-lnx）=2ax-axlnx，则函数定义域为（0，+∞）

g′（x）=2a-（ax•

1

x +alnx）=a（1-lnx）

由g′（x）=0，解得x=e，

由a＞0可知，当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，

当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，

∴函数g（x）的最大值为g（e）=ae（2-lne）=ae

要使不等式恒成立，只需g（x）的最大值不大于1即可，即g（e）≤1

也即ae≤1，解得 a≤

1

e

又∵a＞0

∴0＜a≤

1

e