Question

已知球O的面上四点A,B,C,D,DA⊥平面ABC.AB⊥BC,DA=AB=BC=,则球O的体积等于?

Answer 1

∵DA⊥平面ABC,

AB⊥BC,

∴根据三垂线定理,BD⊥BC,

AC∈平面ABC,

∴DA⊥AC,

CD是RT△BDC和RT△DAC的公共斜边,

取CD中O,连结AO、BO,

BO和AO是二RT△斜边上的中线,

AO=CD/2=OD=OC,（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）,

同理,BO=CD/2=OD=OC,

∴BO=CO=DO=AO=R,

设DA=AB=BC=1,

则CD=√2,

R=√2/2,

∴V球=4πR^3/3=4π（√2/2）^3/3=√2π/3.