是否存在一个实数k,使方程8x2+6kx+2k+1=0的两个根是一个直角三角形的两个锐角的正弦?

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  • 解题思路:设直角三角形两个锐角为α,β,根据sinα,sinβ是方程的两个根据,根据韦达定理可知两根之和与两根之积,根据同角三角函数基本关系整理得9k2-8k-20=0,求得k的值,把k=2代入原方程求得判别式小于0,排除;把k═-[10/9]代入方程两根的积,结果小于不符合题意也排除,进而推断出k的值不存在.

    设直角三角形两个锐角为α,β,则sinα,sinβ是方程8x2+6kx+2k+1=0的两个根.

    ∵α+β=90°,∴sinβ=cosα

    根与系数的关系,得

    sinα+cosα=−

    3k

    4①

    sinαcosα=

    2k+1

    8②

    2-2×②得9k2-8k-20=0

    ∴k1=2,k2=-[10/9]

    当k=2时变为8x2+12x+5=0,

    △=144-160<0

    ∴k=2舍去.

    将k=-[10/9]代入②,得sinα•cosα=sinα•sinβ=-[11/72],

    ∴sinα,sinβ异号,应有sinα<0或sinβ<0,实际上sinα>0,sinβ>0,

    ∴k=-[10/9]不满足题意,

    ∴k值不存在.

    点评:

    本题考点: 同角三角函数间的基本关系;一元二次方程的根的分布与系数的关系.

    考点点评: 本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用,和数学方程思想.考查了学生综合分析问题的能力.