Question

设A是n阶实对称矩阵,证明r(A)=r(A^2)

Answer 1

证明:因为A是实对称矩阵

所以 A 相似于对角矩阵 diag(λ1,λ2,...,λn)

其中 λi 是A的特征值.

因为相似矩阵有相同的秩,

故 r(A) = λ1,λ2,...,λn 中非零数的个数.

由A是实对称矩阵知A^2也是实对称矩阵

且A^2的特征值为 λ1^2,λ2^2,...,λn^2

故A^2相似于对角矩阵 diag(λ1^2,λ2^2,...,λn^2)

且 r(A^2) = λ1^2,λ2^2,...,λn^2 中非零数的个数

= λ1,λ2,...,λn 中非零数的个数

= r(A).