第373题(2010瑞士数学奥林匹克)
三角形ABC,AB≠AC,内切圆I切边BC,AC,AB分别于D,E,F
EF中点M,AD交圆I于另一点P,
求证：P,M,I,D四点共圆
证明 过P作圆I的切线交BC的延长线于G,根据Newton
定理：LC,BK,PD,EF交于一点,所以D,G调和分割BC
又因为 ,所以FC,BE,AD
交于一点,因此G必在直线EF上,
已知M是EF中点,可知∠IMG=90°易知
P,M,I,D,G五点共圆,因而∠PMG=∠PIG=PDG,
进而∠IMP+∠IDP=180°,所以P,M,I,D四点共圆