Question

已知F1、F2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2＝1（a＞0，b＞0）的左、

Answer 1

解题思路：依题意，双曲线左支上存在一点P使得

|

P

F

2

|

2

|

PF

1

|

=8a，|PF₁|-|PF₂|=-2a，可求得，|PF₁|=2a，|PF₂|=4a，再利用|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|之间的关系即可求得双曲线的离心率的取值范围．

∵P为双曲线左支上一点，

∴|PF₁|-|PF₂|=-2a，

∴|PF₂|=|PF₁|+2a，①

又

|PF2|2

|PF1|=8a，②

∴由①②可得，|PF₁|=2a，|PF₂|=4a．

∴|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|，即2a+4a≥2c，

∴[c/a]≤3，③

又|PF₁|+|F₁F₂|＞|PF₂|，

∴2a+2c＞4a，

∴[c/a]＞1．④

由③④可得1＜[c/a]≤3．

故答案为：（1，3]．

点评：

本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的简单性质，依题意求得|PF1|=4a，|PF2|=2a是基础，利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|之间的三角关系得到关于a，c的不等式组是关键，也是难点，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．