解题思路：（1）把（0，2a+3）代入到f（x）的解析式中得到c与a的解析式，解出c；求出f'（x），因为在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，得到切线的斜率为0，即f′（-1）=0，代入导函数得到b与a的关系式，解出b即可．
（2）把第一问中的b与c代入bc中化简可得bc是关于a的二次函数，根据二次函数求最值的方法求出bc的最小值并求出此时的a、b和c的值，代入f（x）中得到函数的解析式，根据求导法则求出g（x）的导函数，利用x的值分区间讨论g′（x）的正负即可得到g（x）的增减区间．
（1）由f（x）=ax2+bx+c得到f'（x）=2ax+b．
因为曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），故f（0）=c=2a+3，
又曲线y=f（x）在（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，故f'（-1）=0，
即-2a+b=0，因此b=2a．
（2）由（1）得bc=2a（2a+3）=4（a+[3/4]）2-[9/4]，
故当a=-[3/4]时，bc取得最小值-[9/4]．
此时有b=-[3/2]，c=[3/2]．
从而f（x）=-[3/4]x2-[3/2]x+[3/2]，f′（x）=-[3/2]x-[3/2]，g（x）=-f（x）ex=（[3/4]x2+[3/2]x-[3/2]）ex，
所以g′（x）=-f′（x）ex+（-f（x））ex=[3/4]（x2+4x）ex
令g'（x）=0，解得x1=0，x2=-4．
当x∈（-∞，-4）时，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（-∞，-4）上为增函数；
当x∈（-4，0）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（-4，0）上为减函数．
当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（0，+∞）上为增函数．
由此可见，函数g（x）的单调递增区间为（-∞，-4）和（0，+∞）；单调递增区间为（-4，0）．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是函数的导函数的求解，属于中档题．