“数学之美”团员448755083为你解答!
过定点(1/2,√3/2),斜率角为α的直线参数方程为
x(A) = 1/2 + t1cosα
y(A) = √3/2 + t1sinα
x(B) = 1/2 + t2cosα
y(B) = √3/2 + t2sinα
首先AB两点都在圆上可得
(1/2 + t1cosα)²+(√3/2 + t1sinα)²=4→(t1)² + t1(cosα + √3sinα) = 3 (1)
(1/2 + t2cosα)²+(√3/2 + t2sinα)²=4→(t2)² + t2(cosα + √3sinα) = 3 (2)
显然,t1≠0,t2≠0,且作图可知,t2＜0,t1＞0
则有 [3 - (t1)²]/t1 = [3 - (t2)²]/t2 (3)
又有2|AM|=|BM|
即 [x(B) - 1/2]² + [y(B) - √3/2]² = 4[x(A) - 1/2]² + 4[y(A) - √3/2]²
代入有
| t2 | = 2*| t1 |
显然AB不是同一个点,因此有t2 = -2*t1
代入到(1)式中可得
t1 = √6/2
t2 = -√6
代入(1)(2)中任意一个可得sin(α + π/6)=(√6)/4
cos(α + π/6) = ±(√10)/4
tan(α + π/6) = (tanα + 1/√3)/(1 + tanα/√3) = ±(√3/√5)
根据上式就可以计算出所得直线的斜率k = tanα
根据点M的坐标可以计算得知,过M点和圆C圆心,即原点的直线不满足第二问的比例关系,因此,就有两条关于该直径对称的直线都能满足该比例关系,因此上面得出的计算结果有两个.
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