解题思路:(1)根据正五边形性质得出∠D=∠BCM=108°,BC=CD,求出∠CBM=∠DCN,根据ASA推出△BCM≌△CDN即可;(2)连接CE,BD,根据正五边形性质得出∠AED=∠EDC=∠BCD=108°,ED=DC=BC,求出N、E、M、O四点共圆,求出∠ENC=∠BMD,证△BCD≌△CDE,推出BD=CE,∠DEC=∠BDC,求出∠NEC=∠MDB,根据AAS证△ECN≌△DBM,即可得出答案.
(1)证明:∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠D=∠BCM=
(5−2)×180°
5=108°,BC=CD,
∵∠BON=108°,
∴∠BON=∠CBM+∠BCN=108°,∠BCD=∠BCN+∠DCN=108°,
∴∠CBM=∠DCN,
在△BCM和△CDN中,
∠CBM=∠DCN
BC=CD
∠BCM=∠D,
∴△BCM≌△CDN(ASA),
∴BM=CN.
(2)BM=CN还成立,
理由是:连接CE,BD,
∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠AED=∠EDC=∠BCD=108°,ED=DC=BC,
∵∠BON=108°,
∴∠NOM+∠AED=180°,
∴N、E、M、O四点共圆,
∴∠ENC+∠EMB=180°,
∵∠EMB+∠DMB=180°,
∴∠ENC=∠BMD,
在△BCD和△CDE中,
BC=DE
∠BCD=∠CDE
CD=CD,
∴△BCD≌△CDE(SAS),
∴BD=CE,∠DEC=∠BDC,
∵∠EDC=∠AED=108°,
∴∠AED-∠DEC=∠CDE-∠CDB,
即∠NEC=∠MDB,
在△ECN和△DBM中,
∠ENC=∠DMB
∠NEC=∠MDB
CE=BD,
∴△ECN≌△DBM(AAS),
∴BM=CN,
即BM=CN还成立.
点评:
本题考点: 四边形综合题.
考点点评: 本题考查了四点共圆,圆内接四边形的性质,全等三角形的性质和判定,正多边形的性质的应用,主要考查学生的推理能力.