Question

已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图像关于直线x＝1对称,证明函数f(x)是周期函数

Answer 1

函数f(x)是定义域为R的奇函数则f(x)=-f(-x)

它的图像关于直线x＝1对称,则f(x)=f(2-x)

所以f(-x)=f(2+x)=-f(x)

所以f(x)=-f(2+x)

所以f(x+2)=-f(2+x+2)=-f(x+4)=-f(x)

所以f(x)=f(x+4)

所以f(x)是以4周期的周期函数

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偶函数的话就是

f(x)=f(2-x)

所以f(-x)=f(2+x)=f(x)

所以f(x)=f(2+x)

f(x)是以2周期的周期函数