Question

已知函数f（x）=ex-a（x-1），x∈R，其中a为实数．

Answer 1

解题思路：（1）求出函数的导数，对a进行讨论，分别判断函数的单调性，最后根据a的不同取值得出的结论综合即可；

（2）g（x）=f（2x）=e^2x-a（2x-1），计算出切线斜率，写出切线方程y-（1+a）=（2-2a）（x-0），求得在坐标轴上的截距，利用三角形的面积公式得到面积S（a）的表达式，最后利用基本不等式求此函数的最小值即可；

（3）利用分离参数法，借助于求函数的最值，可求实数a的取值范围．

：（1）由f'（x）=e^x-a=0，得x=lna．

①当a∈（0，1]时，f'（x）=e^x-a＞1-a≥0（x＞0）．此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．函数无极值．

②当a∈（1，+∞）时，lna＞0．

x变化时f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x （0，lna） lna （lna，+∞）

f′（x） - 0 =

f（x） 单减 极小值 单增由此可得，函数有极小值且f（x）_极小=f（lna）=a-a（lna-1）=2a-alna．

（2）g（x）=f（2x）=e^2x-a（2x-1），g（0）=1+a

切线斜率为k=g'（0）=2-2a，切线方程y-（1+a）=（2-2a）（x-0），

由x=0，y=1+a，由y=0，x=[a+1

2(a−1)

∴S（a）=

1/2×(a+1)×

a+1

2(a−1)]=[1/4][（a-1）+[4/a−1]+4]≥2

当且仅当（a-1）²=4，即a=3时取等号．∴当a=3时，S（a）最小值为2．

（3）由已知不等式即为：2e^x+x³-2x²≥ax，

∴a≤

2ex

x+x2−2x

令u（x）=

2ex

x+x2−2x，则u′（x）=

2(x−1)(ex+2)

x2

∴x∈（0，1）时，u′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0

∴u（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增

∴x=1时，u（x）的最小值为2e-1

∴a≤2e-1．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的极值，考查基本不等式的运用，考查分离参数法．解答关键是要对函数求导，做题时要注意对a进行讨论，最后得出函数的极值和单调区间．