Question

（2011•浙江）设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若x=-1为函数y=f（x）ex的一个极值点，则下

Answer 1

解题思路：先求出函数f（x）e^x的导函数，利用x=-1为函数f（x）e^x的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=ax²+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．

由y=f（x）e^x=e^x（ax²+bx+c）⇒y'=f'（x）e^x+e^xf（x）=e^x[ax²+（b+2a）x+b+c]，

由x=-1为函数f（x）e^x的一个极值点可得，-1是方程ax²+（b+2a）x+b+c=0的一个根，

所以有a-（b+2a）+b+c=0⇒c=a．

法一：所以函数f（x）=ax²+bx+a，对称轴为x=-[b/2a]，且f（-1）=2a-b，f（0）=a．

对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（-1）=0符合要求，

对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（-1）=0不矛盾，

对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=-[b/2a]＞0⇒b＞0⇒f（-1）＜0不矛盾，

对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=-[b/2a]＜-1⇒b＞2a⇒f（-1）＜0于原图中f（-1）＞0矛盾，D不对．

法二：所以函数f（x）=ax²+bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D不成立

故选 D．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的图象与图象变化．

考点点评： 本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等0即可．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．