Question

设数列{an}前n项和为Sn，已知a1=a（a≠4），an+1=2Sn+4n（n∈N*）

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）依题意得：S_n+1-S_n=a_n+1=2S_n+4ⁿ，化简利用等比数列的定义，可证数列{b_n}是等比数列；

（Ⅱ）确定S_n，再写一式，两式相减，即可求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅲ）若a_n+1≥a_n（n∈N^*）成立，作差，构建函数，利用函数的单调性，即可求实数a取值范围．

（Ⅰ）证明：依题意得：S_n+1-S_n=a_n+1=2S_n+4ⁿ，即S_n+1=3S_n+4ⁿ，

由此得Sn+1−4n+1=3（Sn−4n）即b_n+1=3b_n，…（2分）

∴数列{b_n}是公比为3的等比数列．…（3分）

（Ⅱ）∵bn＝Sn−4n＝(a−4)•3n−1，

∴Sn＝4n+(a−4)•3n−1，

∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3×4^n-1+2（a-4）•3^n-2，…（6分）

n=1时，a₁=1

∴an＝

3×4n−1+2(a−4)•3n−2

a，n＝1…（7分）

（Ⅲ）∵a_n+1=3×4ⁿ+2（a-4）•3^n-1，

∴a_n+1-a_n=4•3^n-2[9•(

4

3)n−2+a−4]≥0

设f（n）=9•(

4

3)n−2+a−4，则f（n）≥0，…（9分）

∵当n≥2时，f（n）是递增数列，∴f（n）的最小值为f（2）=a+5…（10分）

∴当n≥2时a_n+1-a_n≥0恒成立，等价于a+5≥0，即a≥-5…（11分）

又a₂≥a₁等价于2a₁+4≥a₁，即a≥-4．…（13分）

综上，所求的a的取值范围是[-4，4）∪（4，+∞）．…（14分）

点评：

本题考点： 数列递推式；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．