Question

已知a，b∈（0，1），则a+b=1是不等式ax2+by2≥（ax+by）2 对任意的x，y∈R恒成立的（

Answer 1

解题思路：结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．

∵ax²+by²-（ax+by）²

=（a-a²）x²+（b-b²）y²-2abxy

=a（1-a）x²+b（1-b）y²-2abxy，

又∵a+b=1，a，b∈（0，1），

∴原式=abx²+aby²-2abxy=ab（x-y）²≥0，

∴ax²+by²≥（ax+by）²，成立．

当x=y=1时，不等式等价为a+b≥（a+b）²，

即（a+b）（a+b-1）≤0，

∵a，b∈（0，1），

∴a+b-1≤0，即a+b≤1．

∴a+b=1是不等式ax²+by²≥（ax+by）²对任意的x，y∈R恒成立的充分不必要条件．

故选：A．

点评：

本题考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．