Question

设a，b∈R，且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg1+ax1+2x是奇函数．

Answer 1

解题思路：（1）由函数f（x）在区间（-b，b）是奇函数，知f（-x）=-f（x），x∈（-b，b）上恒成立，用待定系数法求得a；同时函数要有意义，即

1+ax

1+2x

＞0

，x∈（-b，b）上恒成立，可解得结果．

（2）选用定义法求解，先任意取两个变量且界定大小，再作差变形看符号．

解（1）f（x）=lg[1+ax/1+2x]（-b

对任意x∈（-b，b）都有

f(-x)=-f(x) ①

1+ax

1+2x>0 ②

①式即为lg

1-ax

1-2x=-lg

1+ax

1+2x=lg[1+2x/1+ax]，由此可得[1-ax/1-2x=

1+2x

1+ax]，

也即a²x²=4x²，此式对任意x∈（-b，b）都成立相当于a²=4，

因为a≠2，所以a=-2，

代入②式，得[1-2x/1+2x]>0，即-[1/2]

此式对任意x∈（-b，b）都成立相当于

-[1/2]≤-b

所以b的取值范围是（0，[1/2]]．

（2）设任意的x₁，x₂∈（-b，b），且x₁2，
由b∈（0，[1/2]]，得-[1/2]≤-b12所以0<1-2x₂<1-2x₁，0<1+2x₁<1+2x₂，
从而f（x₂）-f（x₁）=lg
1-2x2
1+2x2-lg
1-2x1
1+2x1
=lg
(1-2x2)(1+2x1)
(1+2x2)(1-2x1)因此f（x）在（-b，b）内是减函数．

点评：

本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题主要考查函数的奇偶性，要注意定义域优先考虑原则，还考查了用定义法证明函数的单调性，要注意作差时的变形要到位，要用上两个变量的大小关系．