Question

已知函数f(x)＝ex−e−xex+e−x，其中e为自然数．

Answer 1

解题思路：（1）先证明定义域关于原点对称，再证明f（-x）=-f（x）即可；

（2）利用换元法设t=e^2x，将函数转化为分式函数，再利用分离常数法，由反比例函数的图象和性质求此函数的值域即可

（1）∵e^x+e^-x＞0恒成立，∴f（x）的定义域为R

∵f（-x）=

e−x−ex

e−x+ex=-f（x），

∴f（x）为奇函数；

（2）∵f(x)＝

ex−e−x

ex+e−x=

e2x−1

e2x+1，设t=e^2x，t＞0，

∵f（t）=[t −1/t +1]=1-[2/t +1]，由t＞0，t+1＞1，0＜[2/t +1]＜2，

所以f（t）∈（-1，1），

即f（x）的值域为（-1，1）

点评：

本题考点： 函数奇偶性的判断；函数的值域．

考点点评： 本题考查了奇函数的定义及其证明方法，换元法、分离常数法求复合函数值域的方法，转化化归的思想方法