如图,在平面直角坐标系xoy中,过y轴负方向上的一点C(0,c)任作一直线,与抛物线y=-x²相交于A,B两点

2个回答

  • 1.

    设A(x1,y1)、B(x2,y2)即A(x1,x12)、B(x2,x22)

    △=k2+4c>0

    x1+x2=k,x1·x2=-c,y1·y2=(x1·x2)2 =c2

    x1x2+(x1·x2)2=c2-c=2

    c=2,c=-1(舍去)

    2.

    过点C(0,2)直线L:y=kx+2 ...(1)

    点A(a,a^2),B(b,b^2),点A在L上:a^2 =ka+2 ...(2)

    (1)代入y=x^2:x^2-kx-2=0 ==> a+b=k

    ==> P(k/2,k^2/2 +2),Q(k/2,-2)

    直线QA斜率 =(a^2+2)/(a-2) ...(3)

    抛物线y=x^2在A(a,a^2)处切线斜率 =y'(a)=2a ...(4)

    (2)(3)==> 直线QA斜率=2a =抛物线y=x^2在A(a,a^2)处切线斜率

    ==> QA为此抛物线的切线

    3.

    抛物线y=x^2在A(a,a^2)处切线方程:y=2ax-a^2 ...(5)

    (5)与直线y=-2的交点:Q[(a^2-2)/(2a),-2]

    过点Q、垂直于X轴的直线:x=(a^2-2)/(2a) ...(6)

    直线AC:y=(a^2-2)x/a +2 ...(7)

    (7)代入y=x^2:x^2-(a^2-2)x/a-2=0

    ==> 直线AC与抛物线两交点的中点的横坐标 =(a^2-2)/(2a)

    中点在(6)上.证毕 逆命题成立