Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的一个零点为x=1，另外两个零点可分别作为一个椭圆、一双曲线的离心率，则a+b+

Answer 1

解题思路：把x=1，y=0代入函数解析式求得a+b+c的值；然后求得a，b和c的关系代入函数解析式消去c，整理成f（x）=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）的形式，设g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b椭圆和双曲线的离心率的范围确定两根的范围确定g（0）＞0，g（1）＜0，最后利用线性规划求得[b/a]的范围．

依题意可知f（1）=1+a+b+c=0

∴a+b+c=-1

1+a+b+c=0得c=-1-a-b代入

f（x）=x³+ax²+bx-1-a-b

=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）

设g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b

g（x）=0的两根满足0＜x₁＜1 x₂＞1

g（0）=1+a+b＞0

g（1）=3+2a+b＜0

用线性规划得-2＜[b/a]＜-[1/2]

故答案为：-1，(-2，-

1

2)

点评：

本题考点： 圆锥曲线的共同特征；函数的零点．

考点点评： 本题主要考查了函数的零点和根的分布，圆锥曲线的共同特征，线性规划的基础知识．考查基础知识的综合运用．