Question

设f(x)＝log2x1−x+1，an＝f(1n)+f(2n)+…f(n−1n)，n∈N•，则a2011=______．

Answer 1

解题思路：先求出f（1-x），注意到f（x）+f（1-x）=2，然后利用倒序相加法进行求解即可求出所求．

因为f(x)＝log2

x

1−x+1，所以f(1−x)＝log2

1−x

x+1，

∴f（x）+f（1-x）=2

又因为an＝f(

1

n)+f(

2

n)+…f(

n−1

n)，n∈N•，

∴a₂₀₁₁=f（[1/2011]）+f（[2/2011]）+…+f（[2010/2011]）

a₂₀₁₁=f（[2010/2011]）+f（[2009/2011]）…+f（[1/2011]）

将上述两式相加得2a₂₀₁₁=2×2010

∴a₂₀₁₁=2010

故答案为：2010

点评：

本题考点： 数列与函数的综合．

考点点评： 本题主要考查了数列与函数的综合题，以及数列求和中的倒序相加法，属于难题，往往想不到就无法下手．