解题思路：方法一：由α为第三象限的角，判断出2α可能的范围，再结合又
cos2α＝−
3
5
＜0确定出2α在第二象限，利用同角三角函数关系求出其正弦，再由两角和的正切公式展开代入求值．
方法二：判断2α可能的范围时用的条件组合方式是推出式，其它比同．
方法一：因为α为第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），
又cos2α＝−
3
5＜0，所以2α∈(
π
2+2(2k+1)π，π+2(2k+1)π)(k∈Z)，
于是有sin2α＝
4
5，tan2α＝
sin2α
cos2α＝−
4
3，
所以tan(
π
4+2α)=
tan
π
4+tan2α
1−tan
π
4tan2α＝
1−
4
3
1+
4
3＝−
1
7．
方法二：α为第三象限的角，cos2α＝−
3
5，2kπ+π＜α＜2kπ+
3
2π⇒4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π⇒2α在二象限，sin2α＝
4
5tan(
π
4+2α)＝
sin(
π
4+2α)
cos(
π
4+2α)＝
sin
π
4cos2α+cos
π
4sin2α
cos
π
4cos2α−sin
π
4sin2α＝
cos2α+sin2α
cos2α−sin2α＝−
1
7
点评：
本题考点： 两角和与差的正切函数；象限角、轴线角；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦．
考点点评： 本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能．