Question

求证一个定义在(负无穷,正无穷)上的函数的和是奇函数加偶函数

Answer 1

对任意函数f(x)来说,

设f(x)=g(x)+h(x).……①(其中g(x)是奇函数,h(x)是偶函数)

把x换成-x得：f(-x)=g(-x)+h(-x)

而g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x).

所以f(-x)=-g(x)+h(x)……②

①＋②得：h(x)=[ f(x)+ f(-x)]/2,

①-②得：g(x)=[ f(x)- f(-x)]/2.

∴f(x)= [ f(x)- f(-x)]/2+[ f(x)+ f(-x)]/2.（右边第一个是奇函数,第二个是偶函数）