解题思路：（1）要证明数列{bn}是等差数列，只需证明它的后一项与前一项的差为非零常数即可，先根据数列{an}的递推公式推出数列{bn}的递推公式，即可证明．
（2）由（1）可得数列{bn}的通项公式，再由
b
n
＝
1
a
n
−1]，可得数列{an}的通项公式，判断数列{an}对应连续函数得单调性，得到数列的单调性，进而可得数列的最值；
（3）先用数学归纳法证明1＜an＜2，注意递推式
a
n
＝2−
1
a
n−1
的使用，再证明数列是递减数列，利用an+1-an＜0，不等式可证．
（1）bn＝
1
an−1＝
1
2−
1
an−1−1＝
an−1
an−1−1，而bn−1＝
1
an−1−1，
∴bn−bn−1＝
an−1
an−1−1−
1
an−1−1＝1．（n∈N+）
∴{bn}是首项为b1＝
1
a1−1＝−
5
2，公差为1的等差数列．
（2）依题意有an−1＝
1
bn，而bn＝−
5
2+(n−1)•1＝n−3.5，
∴an−1＝
1
n−3.5．对于函数y＝
1
x−3.5，
在x＞3.5时，y＞0，y′＝−
1
(x−3.5)2＜0，
在（3.5，+∞）上为减函数．且y＞0，故当n=4时，an＝1+
1
n−3.5取最大值3．
而函数y＝
1
x−3.5在x＜3.5时，y＜0，y′＝−
1
(x−3.5)2＜0，
在（-∞，3.5）上也为减函数．且y＜0，故当n=3时，取最小值，a3=-1．
∴数列{an}中的最大项是a4=3；最小项是a3=-1
（3）先用数学归纳法证明1＜an＜2，再证明an+1＜an．①当n=1时，1＜a1＜2成立；
②假设当n=k时命题成立，即1＜ak＜2，
当n=k+1时，[1/2＜
1
ak＜1⇒ak+1＝2−
1
a
点评：
本题考点： 数列与函数的综合；等差关系的确定；数列递推式．
考点点评： 本题综合考查了等差数列的证明、数列的最值及数列与不等式证明，重点考查了数列的函数性质，解题时要认真体会，准确作答．
1年前
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