Question

已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b2x+1+a是奇函数，

Answer 1

解题思路：（1）由f（x）是R上的奇函数，得f（0）=0，且f（-1）=-f（1）；代入f（x）可得a、b的值；

（2）由f（x）的解析式，用单调性定义可以证明f（x）是定义域上的减函数；

（3）由f（mt²-2t）+f（1-t²）＜0，可得f（mt²-2t）＜-f（1-t²）；

由f（x）是奇函数，得-f（1-t²）=f（t²-1），从而得f（mt²-2t）＜f（t²-1）；

由f（x）是减函数，得mt²-2t＜t²-1恒成立，解得m的取值范围．

（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，且f（-1）=-f（1）；

即[-1+b/2+a]=0，且

-

1

2+b

1+a=-[-2+b/4+a]；

解得a=2，b=1；

∴f（x）的解析式为f（x）=

-2x+1

2x+1+2；

（2）∵f（x）=

-2x+1

2x+1+2，

∴f（x）=-

2x-1

2(2x+1)=[1

2x+1-

1/2]是R上的减函数；

证明如下：在R上任取x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（[1

2x1+1-

1/2]）-（[1

2x2+1-

1/2]）=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)；

∵x₁＜x₂，∴2x2-2x1＞0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，

∴

2x2-2x1

(2x1+1)(2

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查了函数的奇偶性与单调性的性质和应用，以及不等式恒成立问题，是中档题．