Question

给定数列a1，a2，…，an．对i=1，2，…，n-1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n-i项ai+1，ai+2，…，

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）当i=1时，A₁=3，B₁=1，从而可求得d₁，同理可求得d₂，d₃的值；

（Ⅱ）依题意，可知a_n=a₁q^n-1（a₁＞0，q＞1），由d_k=a_k-a_k+1⇒d_k-1=a_k-1-a_k（k≥2），从而可证

d

k

d

k-1

（k≥2）为定值．

（Ⅲ）依题意，0＜d₁＜d₂＜…＜d_n-1，可用反证法证明a₁，a₂，…，a_n-1是单调递增数列；再证明a_m为数列{a_n}中的最小项，从而可求得是a_k=d_k+a_m，问题得证．

（Ⅰ）当i=1时，A₁=3，B₁=1，故d₁=A₁-B₁=2，同理可求d₂=3，d₃=6；

（Ⅱ）由a₁，a₂，…，a_n-1（n≥4）是公比q大于1的等比数列，且a₁＞0，则{a_n}的通项为：a_n=a₁q^n-1，且为单调递增的数列．

于是当k=1，2，…n-1时，d_k=A_k-B_k=a_k-a_k+1，

进而当k=2，3，…n-1时，

dk

dk-1=

ak-ak+1

ak-1-ak=

ak(1-q)

ak-1(1-q)=q为定值．

∴d₁，d₂，…，d_n-1是等比数列；

（Ⅲ）设d为d₁，d₂，…，d_n-1的公差，

对1≤i≤n-2，因为B_i≤B_i+1，d＞0，

所以A_i+1=B_i+1+d_i+1≥B_i+d_i+d＞B_i+d_i=A_i，

又因为A_i+1=max{A_i，a_i+1}，所以a_i+1=A_i+1＞A_i≥a_i．

从而a₁，a₂，…，a_n-1为递增数列．

因为A_i=a_i（i=1，2，…n-1），

又因为B₁=A₁-d₁=a₁-d₁＜a₁，

所以B₁＜a₁＜a₂＜…＜a_n-1，

因此a_n=B₁．

所以B₁=B₂=…=B_n-1=a_n．

所以a_i=A_i=B_i+d_i=a_n+d_i，

因此对i=1，2，…，n-2都有a_i+1-a_i=d_i+1-d_i=d，

即a₁，a₂，…，a_n-1是等差数列．

点评：

本题考点： 等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题．