Question

若实数x，y满足x2+4y2=4x，则S=x2+y2的取值范围是______．

Answer 1

解题思路：把S表示为关于变量x的二次函数，由y²≥0可求得x的范围，在x的取值范围内利用二次函数的性质即可求得其最值，从而得其范围．

由x²+4y²=4x，得y²=[1/4(4x−x2)，

由y²=

1

4(4x−x2)≥0，解得0≤x≤4，

代入S=x²+y²得，S=x²+

1

4(4x−x2)=

3

4x2+x=

3

4(x+

2

3)2-

1

3]，x∈[0，4]，

S在[0，4]上单调递增，

当x=0时S取得最小值为0；当x=4时S取得最大值为16，

故S的取值范围为[0，16]．

故答案为：[0，16]．

点评：

本题考点： 二次函数在闭区间上的最值．

考点点评： 本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查学生运用知识分析解决问题的能力，属中档题．